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长度为1的线段被若干放在其上的有限个线段覆盖.求证:在它们中间可以选出某些两两不相交的线段.长度为1的线段被若干放在其上的有限个线段覆盖(线段间可以有重叠部分).求证:在它
 更新时间:2024-03-28 19:44:26
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问题描述:

长度为1的线段被若干放在其上的有限个线段覆盖.求证:在它们中间可以选出某些两两不相交的线段.

长度为1的线段被若干放在其上的有限个线段覆盖(线段间可以有重叠部分).求证:在它们中间可以选出某些(可以是一条或多条)两两不相交的线段,使它们的长度和不小于0.5.

程伟明回答:
  证明:对覆盖线段的条数n用归纳法,n=1,显然成立.假设n=k,结论成立.当n=k+1时,如果拿走这k+1条线段的某一条,其它的k条,仍然能够覆盖单位线段的话,由归纳假设知从剩下的这k条线段可以取到结论所要求.如果拿走这k+1条线段的任意一条,剩下的k条,都不能够覆盖单位线段,那么可设单位线段为[0,1],这k+1条线段为[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],…,[a(k+1),b(k+1)],且有a(1)≤0
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